Fermat

Pierre de Fermat nació en los albores del siglo XVII, en 1601, en Beaumont un pueblo al sudoeste de Francia, su padre era un rico comerciante de pieles lo que le permitió estudiar leyes en la Universidad de Toulouse, donde nunca destacó en matemáticas. Su actividad profesional fue la de jurista, en realidad fue desde 1631 un alto funcionario del parlamento de Toulouse en el que llego a desempeñar el cargo de juez supremo, ejerció este cargo hacia su muerte en una época difícil en que las intrigas del cardenal Richelieu dominaban toda la administración francesa. Fermat se mantuvo siempre al margen de conspiraciones e intrigas políticas dedicando su tiempo libre a una ocupación por la que pasaría a la historia: las matemáticas. No público en su vida ningún libro sobre matemáticas, de hecho llego a escribir a Blaise Pascal “no quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición publica”, sus aportaciones las conocemos gracias a la correspondencia mantenida con otros matemáticos franceses como: Pascal, Descartes; o ingleses como: Wallis.

Fermat tenia la sana costumbre de torturar a sus interlocutores postales enviándoles problemas que el había resuelto previamente, pero curiosamente casi siempre se olvidaba de incluir la demostración de los mismos. Su pasión fueron los números y su mayor inspirador fue Diofanto. Poco se sabe de este sabio, salvo que vivió en Alejandría a principio de nuestra era, de lo que si estamos seguro es de su gran pasión por los acertijos matemáticos, en su tumba en lugar de escribir la edad en la que murió apareció un acertijo para deducirlo, sin duda el mejor homenaje que se le podía hacer, el epitafio en forma de enigma era así: Dios me concedió ser niño la sexta parte de su vida, una duodécima parte de ella mas tarde cubrió de bellos sus mejillas, encendió en el la antorcha de matrimonio tras una séptima parte, y cinco años después le concedió un hijo, un hijo de nacimiento tardío que el destino se llevo cuando alcanzo la edad de la mitad de la vida de su padre, este consoló su afición con la ciencia de los números durante los cuatro años siguientes, tras los cuales su vida se extinguió.

Su aritmética constaba de trece libros de los cuales solo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos luego por los musulmanes. En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros realizada por Bacheti, otro aficionado por los acertijos matemáticos, en su aritmética Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos, por desgracia Fermat no heredo esta costumbre, a la luz de las velas hacía notaciones en los márgenes de esta edición tanto de los soluciones como de otras cuestiones similares a los problemas planteados, uno de ellos tiene que ver con unas parejas extrañas de números, los números amigos. Los pitagóricos ya habían observado una rara relación entre los números 220 y 284, los divisores de 220 son: 1-2-4-5-10-11-20-22-44-55-110, los de 284 son: 1-2-4-71-140, en apariencia no tienen mucho parecido, salvo por este curioso hecho, si sumamos todos los divisores de 220 obtenemos 284 y si sumamos los de 284 obtenemos 220, esta rara relación llevo a los griegos a llamarlos los números amigos e identificar estos dos números como símbolo de la amistad, pensaban que eran la única pareja de números amigos. Tras más de dos mil años Fermat va a descubrir la segunda pareja de números amigos: 17296 y 18416. Fermat contagio esta fiebre a su colega y competidor René Descartes, el cual encontró esta pareja aún más sorprendente: 9363584 y 9437056, y eso que no se habían inventado las calculadoras. En sus correspondencias con otros matemáticos Fermat disfrutaba planteándoles problemas con sus descubrimientos por supuesto sin darles la solución. Así descubrió y demostró que el numero 26 es el único que esta comprendido entre dos enteros que son respectivamente un cuadrado 25 y un cubo 27. Reto al matemático ingles Wallis a demostrarlo, no es extraño que sus colegas se debatiesen entre la admiración y el odio. Fermat se limitaba a escribir sus descubrimientos en los márgenes de la aritmética de Diofanto, por fortuna su hijo recopilo estas notas y realizo tras la muerte de su padre la edición más famosa de la aritmética, una edición que incorporaba a los resultado de Diofanto 48 notaciones de Fermat, gracias a ello conocemos los resultados tan sorprendente como este relacionado con los números primos. Los números primos son los números que no tienen divisores distintos de la unidad, hay dos grandes familias de números primos, una es de la forma 4n + 1: 5-13-17-29-37-41….los otros son de la forma 4n + 3: 3-7-11-19-23-31. Fermat descubrió que todos los de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados, pero en cambio ninguno de los de la segunda familia se pueden descomponer en la suma de dos cuadrados, como otras tantas veces a Fermat se le olvido incluir entre sus notas la demostración y hubo que esperar mas de un siglo hasta que Euler otro genio matemático la redescubriera, pero será otra notación en el margen de la aritmética relacionada con el teorema de Pitágoras lo que va a hacer pasar a Fermat a la historia.

Los pitagóricos demostraron que en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, ¿ocurrirá algo parecido si en vez de cuadrados los hacemos con cubos? Si reagrupamos los cubitos de 3, 4 y 5 unidades de lado, podemos formar un cubo mayor de 6 unidades de lado: 3 al cubo mas 4 al cubo mas 5 al cubo es igual a 6 al cubo y no es el único caso, 7 al cubo mas 14 al cubo mas 17 al cubo es igual a 20 al cubo, pero ¿que ocurre si lo intentamos no con tres, sino con solo dos cubos? ¿Podemos formar un tercer cubo al juntar los cubitos de dos cubos? Probemos con algunos números: 6 al cubo mas 8 al cubo es igual a 216 más 512 que es igual a 728 y 9 al cubo es igual a 729, casi se logra, solo nos falto un cubito, probemos con 5,6 y 7: 5 al cubo mas 6 al cubo es igual a 125 mas 216 es decir 341 y 7 al cubo es igual a 343, ahora nos faltaron dos unidades. Seguramente Fermat intuyo muy pronto que no merecía la pena ir probando con ternas de números cada vez mayores para ver si cumplía la condición X al cubo mas Y al cubo es igual a Z al cubo, nunca los iba a encontrar, pero no se quedo ahí, Fermat dijo que pasaría si en vez de trabajar con potencias de grado 3 lo hacia con potencias de grado 4: X a la cuarta mas Y a la cuarta igual Z a la cuarta o potencias quintas o sextas o séptimas. La búsqueda directa de los números X, Y, Z, que verifiquen cualquiera de estas ecuaciones no nos proporciona ninguna solución, podemos poner a los más avanzados ordenadores a buscarlas, de hecho algunos matemáticos lo han intentado sin éxito. Fermat declaro que aunque todos los matemáticos del mundo dedicaran la eternidad a buscar las soluciones de ecuaciones de esta forma: X elevado a n mas Y elevado a n igual a Z elevado a n, siempre que n fuera mayor que dos, jamás las encontraría, por una razón muy simple: no existen. La segunda anotación que hizo en el ejemplar de la aritmética de Diafanto, lo deja muy claro: Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados,o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla. Lo cierto es que no dejo ninguna pista sobre esta maravillosa demostración.
Y así comenzó la búsqueda, en otras de sus anotaciones Fermat da las pistas para su demostración en el caso en que el exponente es 4, utiliza un ingenioso método conocido como descenso infinito, un siglo después de la muerte de Fermat uno de los matemáticos mas geniales y prolíficos de la historia: Euler, atraído por este ultimo teorema de Fermat se lanzo a la aventura de demostrar el caso para n igual a 3, y salvo un ligero error subsanado unos años después de su muerte podemos decir que lo consiguió, es decir demostró que no existe ningún cubo de dimensiones enteras que se pueda descomponer en la suma de dos cubos de dimensiones enteras, que el teorema sea cierto para n igual a 3 y n igual a 4 implica que también lo es para sus múltiplos, 6,8,9,12,15,16…..el siguiente reto era conseguirlo para n igual a 5, habrá que esperar 75 años hasta que dos matemáticos franceses Dirichlet, un anciano de mas de 70 años, y Legendre, un joven de apenas 20 años, conquisten por separado este reto. Quince años después se conquista el exponente 7 el protagonista: Gabriel Lamé, que creyó haber encontrado un teorema general para cualquier exponente, como muchas otras veces a lo largo de la historia el método contenía serios errores. A mediados del siglo pasado Ernst Kummer creo una nueva teoría: “la aritmética de los enteros ciclotomicos” que le permitió demostrar el teorema para casi todos los números primos menores que 100, solo tres números se le resistían:37, 59, 67 y 74 por ser múltiplo de 37. Todo parecía indicar que Fermat tenía razón.
El 25 de octubre de 1994, es un día que pasara a la historia de las matemáticas, ese día un joven matemático ingles, Andrew Wiles, presento dos manuscritos, que contenía la demostración del último teorema de Fermat. Por fin por más de trescientos cincuenta años de intentos de los mejores cerebros del planeta, el reto matemático más popular de la historia había sido superado.

Pero una duda nos sigue martillando la cabeza, será cierto que Fermat halló una maravillosa demostración para este teorema, y si es cierto como lo hizo. Wiles tuvo que utilizar unas técnicas matemáticas descubiertas en los siglos XIX y XX, y por supuesto muy alejadas de los conocimientos matemáticos de la época de Fermat, sin embargo el puso los cimientos de dos ramas fundamentales de las matemáticas: el cálculo de probabilidades y la geometría analítica.